Законы движения кеплера – все о космосе

Законы Кеплера о движении планет

ПодробностиКатегория: Этапы развития астрономииОпубликовано 20.09.2012 13:44Просмотров: 25455

«Он жил в эпоху, когда ещё не было уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы…

… Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и не понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!

Сегодня, когда этот научный акт уже совершился, никто не может оценить полностью, сколько изобретательности, сколько тяжёлого труда и терпения понадобилось, чтобы открыть эти законы и столь точно их выразить» (Альберт Эйнштейн о Кеплере).

Иоганн Кеплер первым открыл закон движения планет Солнечной системы. Но сделал это он на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Поэтому поговорим сначала о нем.

Тихо Браге (1546-1601)

Тихо Браге – датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения, на основании которых Кеплер вывел законы движения планет.

Астрономией увлекся еще в детстве, вел самостоятельные наблюдения, создал некоторые астрономические инструменты. Однажды (11 ноября 1572 года), возвращаясь домой из химической лаборатории, он заметил в созвездии Кассиопеи необычайно яркую звезду, которой раньше не было. Он сразу понял, что это не планета, и бросился измерять её координаты.

Звезда сияла на небе ещё 17 месяцев; вначале она была видна даже днём, но постепенно её блеск тускнел. Это была первая за 500 лет вспышка сверхновой в нашей Галактике. Событие это взбудоражило всю Европу, было множество истолкований этого «небесного знамения» — предсказывали катастрофы, войны, эпидемии и даже конец света.

Появились и учёные трактаты, содержащие ошибочные утверждения о том, что это комета или атмосферное явление. В 1573 г. вышла первая его книга «О новой звезде».

В ней Браге сообщал, что никакого параллакса (изменения видимого положения объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения наблюдателя) у этого объекта не обнаружено, и это убедительно доказывает, что новое светило — звезда, и находится она не вблизи Земли, а по крайней мере на планетном расстоянии.

С появлением этой книги Тихо Браге был признан первым астрономом Дании. В 1576 г. указом датско-норвежского короля Фредерика II Тихо Браге был пожалован в пожизненное пользование остров Вен (Hven), расположенный в 20 км от Копенгагена, а также выделены значительные суммы на постройку обсерватории и её содержание.

Это было первое в Европе здание, специально построенное для астрономических наблюдений. Тихо Браге назвал свою обсерваторию «Ураниборг» в честь музы астрономии Урании (это название иногда переводят как «Небесный замок»). Проект здания составил сам Тихо Браге. В 1584 г.

рядом с Ураниборгом был построен ещё один замок-обсерватория: Стьернеборг (в переводе с датского «Звёздный замок»). В скором времени Ураниборг стал лучшим в мире астрономическим центром, сочетавшим наблюдения, обучение студентов и издание научных трудов. Но в дальнейшем, в связи со сменой короля. Тихо Браге лишился финансовой поддержки, а затем последовало запрещение заниматься на острове астрономией и алхимией. Астроном покинул Данию и остановился в Праге.

Вскоре Ураниборг и все связанные с ним постройки были полностью разрушены (в наше время они частично восстановлены).

В это напряжённое время Браге пришёл к выводу, что ему нужен молодой талантливый помощник-математик для обработки накопленных за 20 лет данных. Узнав о гонениях на Иоганна Кеплера, незаурядные математические способности которого он уже успел оценить из их переписки, Тихо пригласил его к себе.

Перед учеными стояла задача: вывести из наблюдений новую систему мира, которая должна прийти на смену как птолемеевской, так и коперниковой.

Он поручил Кеплеру ключевую планету: Марс, движение которого решительно не укладывалось не только в схему Птолемея, но и в собственные модели Браге (по его расчётам, орбиты Марса и Солнца пересекались).

В 1601 г. Тихо Браге и Кеплер начали работу над новыми, уточнёнными астрономическими таблицами, которые в честь императора получили название «Рудольфовых»; они были закончены в 1627 г. и служили астрономам и морякам вплоть до начала XIX века. Но Тихо Браге успел только дать таблицам название. В октябре он неожиданно заболел и умер от неизвестной болезни.

Тщательно изучив данные Тихо Браге, Кеплер открыл законы движения планет.

Законы движения планет Кеплера

Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря незаурядным математическим способностям был приглашён в 1594 г. читать лекции по математике в университете города Граца (сейчас это Австрия). В Граце Кеплер провёл 6 лет. Здесь в 1596 г. вышла в свет его первая книга «Тайна мира».

В ней Кеплер попытался найти тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники). Орбиту Сатурна он представил как круг (ещё не эллипс) на поверхности шара, описанного вокруг куба.

В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту Марса и т. д.

Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное значение (хотя бы потому, что орбиты планет оказались не круговыми); тем не менее, в наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621 г. переиздал «Тайну мира», внеся в нее многочисленные изменения и дополнения.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения. Особо ценной была систематичность измерений.

На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце — положение, известное сегодня как первый закон Кеплера.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), — большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно , эллипс превращается в окружность.

Дальнейший анализ приводит ко второму закону. Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, в равное время описывает равные площади. Это означало, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

С этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где и  — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и   — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон позднее установил, что третий закон Кеплера не совсем точен – в него входит и масса планеты: , где  — масса Солнца, а и  — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Значение открытий Кеплера в астрономии

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и точно объяснили видимую неравномерность этих движений.

Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую — эллипс.

Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

Хотя исторически кеплеровская система мира основана на модели Коперника, фактически у них очень мало общего (только суточное вращение Земли). Исчезли круговые движения сфер, несущих на себе планеты, появилось понятие планетной орбиты.

В системе Коперника Земля всё ещё занимала несколько особое положение, поскольку только у неё не было эпициклов. У Кеплера Земля — рядовая планета, движение которой подчинено общим трём законам.

Все орбиты небесных тел — эллипсы, общим фокусом орбит является Солнце.

Кеплер вывел также «уравнение Кеплера», используемое в астрономии для определения положения небесных тел.

Законы, открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются следствиями закона тяготения.

Но в бесконечность Вселенной Кеплер не верил и в качестве аргумента предложил фотометрический парадокс (это название возникло позже): если число звёзд бесконечно, то в любом направлении взгляд наткнулся бы на звезду, и на небе не существовало бы тёмных участков. Кеплер, как и пифагорейцы,  считал мир реализацией некоторой числовой гармонии, одновременно геометрической и музыкальной; раскрытие структуры этой гармонии дало бы ответы на самые глубокие вопросы.

Читайте также:  Вероятна ли жизнь на уране? - все о космосе

Другие достижения Кеплера

В математике он нашёл способ определения объёмов разнообразных тел вращения, предложил первые элементы интегрального исчисления, подробно проанализировал симметрию снежинок, работы Кеплера в области симметрии нашли позже применение в кристаллографии и теории кодирования. Он составил одну из первых таблиц логарифмов, впервые ввёл важнейшее понятие бесконечно удалённой точки, ввёл понятие фокуса конического сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений, в том числе меняющие их тип.

В физике ввёл термин инерция как прирождённое свойство тел сопротивляться приложенной внешней силе, вплотную подошёл к открытию закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически, первый, почти на сто лет раньше Ньютона, выдвинул гипотезу о том, что причиной приливов является воздействие Луны на верхние слои океанов.

В оптике: с его трудов начинается оптика как наука. Он описывает преломление света, рефракцию и понятие оптического изображения, общую теорию линз и их систем. Кеплер выяснил роль хрусталика, верно описал причины близорукости и дальнозоркости.

К астрологии у Кеплера было отношение двойственное. Приводят по этому поводу два его высказывания.

Первое: «Конечно, эта астрология — глупая дочка, но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать.

И жалованье математиков так ничтожно, что мать, наверное бы, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала». И второе: «Люди ошибаются, думая, что от небесных светил зависят земные дела». Но, тем не менее, Кеплер составлял гороскопы для себя и своих близких.

Источник: http://ency.info/earth/etapi-astronomii/16

Законы движения космических тел

Движение космического тела по орбите происходит под влиянием множества взаимодействий. В том случае, например, когда наблюдаемые тела – планета и ее спутник, наиболее важную роль играют приливные взаимодействия между ними.

Наиболее важные механизмы взаимодействия в движении крупных тел включают и гравитационные взаимодействия с другими сравнительно крупными телами и Солнцем.<\p>

Эти силы могут длительно воздействовать на конфигурации спутниковых систем.

Различные процессы эволюции орбитального движения играют важную роль и в движении малых тел. Их воздействие являлось решающим при распределении частиц вещества в про-топланетном облаке, создав саму возможность появления спутников.

Такие частицы во множестве существуют и сейчас -как частицы, захваченные планетой из космического пространства, или же как осколки, выброшенные с поверхности спутников при столкновении.

Любые силы – даже такие, как сопротивление атмосферы или давление солнечного излучения – вызывают ускорения, обратно пропорциональные радиусу частицы; для малых тел именно эти ускорения оказываются наиболее существенными.

Орбиты же частиц «среднего» размера – от нескольких метров до нескольких км – испытывают влияние в основном сил, рассматриваемых в классической небесной механике, т.к. эти тела недостаточно крупны, чтобы оказывать серьезное приливное воздействие, но недостаточно малы, чтобы поддаваться действию неклассических эффектов, существенных для малых частиц.

Видимое движение планет имеет несколько особенностей. Прежде всего, планеты в своем движении не отходят от эклиптики (плоскости орбиты) на значительное расстояние. Исключением можно назвать Плутон, орбита которого наклонена к плоскости эклиптики на 17 градусов – более чем орбита какой-либо другой планеты. Далее, движение планет всегда прямое, т.е. происходит с запада на восток.

И, наконец, в видимом движении планет периодически бывают стояния – остановки, после которых планета начинает двигаться в обратном направлении – к западу. Это продолжается до нового стояния, от нескольких недель до нескольких месяцев, а затем планета возобновляет путь на восток.

Если нанести траекторию видимого движения планеты на карту, то получится сложная кривая с зигзагами, самопересечениями и петлями.

Уравнения движения, применяемые в небесной механике, слишком приближенны, описываемые им процессы – случайны, а промежутки времени слишком велики, чтобы можно было уверенно переносить решения, получаемые в наше время, в далекое прошлое. Единственное, что могут позволить себе астрономы-теоретики – это построение моделей на основе законов сохранения и динамических уравнений, полученных с учетом орбитальных возмущений спутников.

Законы Кеплера

Иоганн Кеплер, славившийся исключительной точностью математических расчетов, впервые стал известен после выхода в свет книги «Тайна космографии».

Попытки Кеплера геометрически усовершенствовать систему мира Коперника потерпели неудачу, однако, на автора рукописи обратил внимание Тихо Браге, знаменитый уже к тому времени датский астроном, обосновавшийся неподалеку от Праги. В 1600 г.

Кеплер был приглашен Тихо Браге в Прагу, а после его смерти оказался его преемником на должности придворного математика императора Рудольфа II. Кеплер, будучи ярым сторонником теории Коперника, положил немало сил и времени на поиски доказательств и подтверждений этой теории.

В качестве основного объекта своих исследований Кеплер избрал Марс, который долгое время наблюдал еще Тихо Браге. Немало времени потратил Кеплер, пытаясь подобрать для Марса круговую орбиту, которая соответствовала бы данным наблюдений Тихо Браге, причем так, чтобы Солнце не располагалось бы в ее центре.

В результате вычислений, на которые ушло более шести лет, Кеплер пришел к выводу, что Марс движется не по круговой, а по эллиптической орбите, и Солнце находится в одном из фокусов этого эллипса. Более того, рассчеты Кеплера показали, что Марс движется по своей орбите неравномерно.

Это открытие стало предвестником другого, большего открытия – закономерности в движении планет. Открытые Кеплером законы
получили его имя; время показало, что астроном и математик не ошибся ни в своих исходных положениях, ни в расчетах.

Первый закон из трех гласит: «Каждая планета движется но эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце». В результате вычислений Кеплера оказалось, что эллипсы планетных орбит очень мало отличаются от кругов.

Так называемый коэффициент эксцентриситета е, характеризующий вытянутость эллипса, имеет наибольшее значение для орбиты Плутона – е=0,25, немногим менее он для орбиты Меркурия – е=0,21.

(Коэффициент эксцентриситета определяется по величинам большой и малой полуосей эллипса орбиты.)

Второй закон Кеплера имеет, на первый взгляд, математически более жесткую формулировку: «Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные промежутки времени описывает равновеликие площади».

Чисто математический по звучанию, на самом деле этот закон описывает, прежде всего, характер движения планет, и, в частности, изменение скоростей.

Линейная скорость планеты изменяется в зависимости от кривизны дуги орбиты; наибольшую скорость планета имеет в перигелии (точке, ближайшей к Солнцу), наибольшую – в афелии (точке, наиболее удаленной от Солнца).

Кроме того, длина большой полуоси эллипса равна полусумме расстояний от Солнца до афелия и перигелия.

Источник: http://www.mysterylife.ru/kosmos/dvizhenie-kosmicheskix-tel.html

Законы Кеплера

Дви­же­ние кос­ми­че­ских тел на­блю­да­лось че­ло­ве­ком очень давно. Еще в Древ­ней Гре­ции были при­ду­ма­ны мо­де­ли дви­же­ния пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы во­круг Солн­ца.

Эти мо­де­ли были очень слож­ны­ми, по­сколь­ку ви­ди­мое дви­же­ние пла­нет по небу опи­сы­ва­ет­ся очень слож­ны­ми ли­ни­я­ми, они были на­зва­ны эпи­цик­ла­ми.

Пер­вая по­пыт­ка опи­са­ния все­лен­ной была пред­при­ня­та в Древ­ней Гре­ции во вто­ром веке нашей эры Пто­ле­ме­ем (рис. 1).

Рис. 1. Гео­цен­три­че­ская мо­дель К. Пто­ле­мея

Он пред­ло­жил по­ме­стить Землю в центр Все­лен­ной, а дви­же­ния пла­нет опи­сы­ва­лись боль­ши­ми и ма­лы­ми кру­га­ми, ко­то­рые были на­зва­ны эпи­цик­ла­ми Пто­ле­мея.

Толь­ко в XVI веке Ко­пер­ник пред­ло­жил за­ме­нить гео­цен­три­че­скую мо­дель мира Пто­ле­мея на ге­лио­цен­три­че­скую. То есть по­ме­стить Солн­це в центр Все­лен­ной и пред­по­ло­жить, что все пла­не­ты и Земля вме­сте с ними дви­жут­ся во­круг Солн­ца (рис. 2).

Рис. 2. Ге­лио­цен­три­че­ская мо­дель Н.Ко­пер­ни­ка

В на­ча­ле XVII века немец­кий аст­ро­ном Иоганн Кеплер, об­ра­бо­тав огром­ное ко­ли­че­ство аст­ро­но­ми­че­ской ин­фор­ма­ции, по­лу­чен­ной дат­ским аст­ро­но­мом Тихо Браге, пред­ло­жил свои эм­пи­ри­че­ские за­ко­ны, ко­то­рые с тех пор носят на­зва­ние за­ко­ны Кепле­ра.

 Первый закон Кеплера

Все пла­не­ты Сол­неч­ной Си­сте­мы дви­жут­ся по неко­то­рым кри­вым, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся эл­липс.

 Эл­липс – это одна из про­стей­ших ма­те­ма­ти­че­ских кри­вых, так на­зы­ва­е­мая кри­вая вто­ро­го по­ряд­ка.

В Сред­ние века их на­зы­ва­ли ко­ни­че­ски­ми пе­ре­се­че­ни­я­ми – если пе­ре­сечь конус или ци­линдр неко­то­рой плос­ко­стью, то по­лу­чим ту самую кри­вую, по ко­то­рой дви­жут­ся пла­не­ты Сол­неч­ной си­сте­мы.                 

Рис. 3. Кри­вая дви­же­ния пла­нет

Эта кри­вая (Рис. 3) имеет две вы­де­лен­ные точки, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся фо­ку­сы. Для каж­дой точки эл­лип­са сумма рас­сто­я­ний от нее до фо­ку­сов оди­на­ко­ва.

В одном из этих фо­ку­сов на­хо­дит­ся центр Солн­це (F), ближ­няя к Солн­цу точка кри­вой (P) носит на­зва­ние пе­ри­ге­лий, а самая даль­няя (A) – афе­лий.

Рас­сто­я­ние от пе­ри­ге­лия до цен­тра эл­лип­са на­зы­ва­ет­ся боль­шой по­лу­осью, а рас­сто­я­ние от цен­тра эл­лип­са по вер­ти­ка­ли до эл­лип­са малой по­лу­осью эл­лип­са.

Читайте также:  Одежда космонавтов — скафандр - все о космосе

 Второй закон Кеплера

В про­цес­се дви­же­ния пла­не­ты по эл­лип­су ра­ди­ус-век­тор, со­еди­ня­ю­щий центр Солн­ца с этой пла­не­той, опи­сы­ва­ет неко­то­рую пло­щадь. На­при­мер, за время ∆t пла­не­та пе­ре­ме­сти­лась из одной точки в дру­гую, ра­ди­ус-век­тор опи­сал неко­то­рую пло­щадь ∆S.

Рис. 4. Вто­рой закон Кепле­ра

Вто­рой закон Кепле­ра гла­сит: за оди­на­ко­вые про­ме­жут­ки вре­ме­ни ра­ди­ус-век­то­ра пла­нет опи­сы­ва­ют оди­на­ко­вые пло­ща­ди.

На ри­сун­ке 4 изоб­ра­жен угол ∆Θ, это угол по­во­ро­та ра­ди­ус-век­то­ра за неко­то­рое время ∆t и им­пульс пла­не­ты (), на­прав­лен­ный по ка­са­тель­ной к тра­ек­то­рии, раз­ло­жен­ный на две со­став­ля­ю­щие – со­став­ля­ю­щая им­пуль­са по ра­ди­ус-век­то­ру () и со­став­ля­ю­щая им­пуль­сов, в на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном ра­ди­ус-век­то­ру(⊥).

Про­из­ве­дем вы­чис­ле­ния, свя­зан­ные со вто­рым за­ко­ном Кепле­ра. Утвер­жде­ние Кепле­ра, что за рав­ные про­ме­жут­ки про­хо­дят­ся рав­ные пло­ща­ди, озна­ча­ет, что от­но­ше­ние этих ве­ли­чин есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная.

От­но­ше­ние этих ве­ли­чин часто на­зы­ва­ют сек­то­раль­ной ско­ро­стью, это ско­рость из­ме­не­ния по­ло­же­ния ра­ди­ус-век­то­ра.

Ка­ко­ва же пло­щадь ∆S, ко­то­рую за­ме­та­ет ра­ди­ус-век­тор за время ∆t? Это пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вы­со­та ко­то­ро­го при­мер­но равна ра­ди­ус-век­то­ру, а ос­но­ва­ние при­мер­но равно r ∆ω, вос­поль­зо­вав­шись этим утвер­жде­ни­ем, на­пи­шем ве­ли­чи­ну ∆S в виде ½ вы­со­ты на ос­но­ва­ние и раз­де­лим на ∆t, по­лу­чим вы­ра­же­ние:

, это ско­рость из­ме­не­ния угла, то есть уг­ло­вая ско­рость.

Окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат:                          

,

Квад­рат рас­сто­я­ния до цен­тра Солн­ца, умно­жен­ный на уг­ло­вую ско­рость дви­же­ния в дан­ный мо­мент вре­ме­ни, есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная.

Но если мы умно­жим вы­ра­же­ние r2ω на массу тела m, то по­лу­чим ве­ли­чи­ну, ко­то­рую можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния длины ра­ди­ус-век­то­ра на им­пульс в на­прав­ле­нии, по­пе­реч­ном к ра­ди­ус-век­то­ру:

Эта ве­ли­чи­на, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­ус-век­то­ра на пер­пен­ди­ку­ляр­ную со­став­ля­ю­щую им­пуль­са, носит на­зва­ние «мо­мент ко­ли­че­ства дви­же­ния».

Вто­рой закон Кепле­ра есть утвер­жде­ние о том, что мо­мент ко­ли­че­ства дви­же­ния в гра­ви­та­ци­он­ном поле – ве­ли­чи­на со­хра­ня­ю­ща­я­ся.

От­сю­да сле­ду­ет про­стое, но очень важ­ное утвер­жде­ние: в точ­ках наи­мень­ше­го и наи­боль­ше­го рас­сто­я­ния до цен­тра Солн­ца, то есть афе­лий и пе­ри­ге­лий, ско­рость на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но к ра­ди­ус-век­то­ру, по­это­му про­из­ве­де­ние ра­ди­ус-век­то­ра на ско­рость в одной точке равно этому про­из­ве­де­нию в дру­гой точке.   

 Третий закон Кеплера

Тре­тий закон Кепле­ра утвер­жда­ет, что от­но­ше­ние квад­ра­та пе­ри­о­да об­ра­ще­ния пла­не­ты во­круг Солн­ца к  кубу боль­шой по­лу­оси есть ве­ли­чи­на оди­на­ко­вая для всех пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы. 

Рис. 5. Про­из­воль­ные тра­ек­то­рии пла­нет

На ри­сун­ке 5 пред­став­ле­ны две про­из­воль­ные тра­ек­то­рии пла­нет. Одна имеет явный вид эл­лип­са с дли­ной по­лу­оси (a), вто­рая имеет вид окруж­но­сти с ра­ди­у­сом (R), время об­ра­ще­ния по любой из этих тра­ек­то­рий, то есть пе­ри­од об­ра­ще­ния, свя­зан с дли­ной по­лу­оси или с ра­ди­у­сом.

А если эл­липс пре­вра­ща­ет­ся в окруж­ность, то боль­шая по­лу­ось как раз и ста­но­вит­ся ра­ди­у­сом этой окруж­но­сти. Тре­тий закон Кепле­ра утвер­жда­ет, что в том слу­чае, когда длина боль­шой по­лу­оси равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, пе­ри­о­ды об­ра­ще­ния пла­нет во­круг Солн­ца будут оди­на­ко­вы­ми.

Для слу­чая окруж­но­сти можно вы­чис­лить это от­но­ше­ние, поль­зу­ясь вто­рым за­ко­ном Нью­то­на и за­ко­ном дви­же­ния тела по окруж­но­сти, эта кон­стан­та есть 4π2, де­лен­ное на по­сто­ян­ную все­мир­но­го тя­го­те­ния (G) и массу Солн­ца (M).

Таким об­ра­зом, видно, что, если обоб­щить гра­ви­та­ци­он­ные вза­и­мо­дей­ствия, как это сде­лал Нью­тон, и пред­по­ло­жить, что все тела участ­ву­ют в гра­ви­та­ци­он­ном вза­и­мо­дей­ствии, за­ко­ны Кепле­ра можно рас­про­стра­нять на дви­же­ние спут­ни­ков во­круг Земли, на дви­же­ние спут­ни­ков во­круг любой дру­гой пла­не­ты и даже на дви­же­ние спут­ни­ков Луны во­круг цен­тра Луны. Толь­ко в пра­вой части этой фор­му­лы буква М будет озна­чать массу того тела, ко­то­рое при­тя­ги­ва­ет к себе спут­ни­ки. Все спут­ни­ки дан­но­го кос­ми­че­ско­го объ­ек­та будут иметь оди­на­ко­вое от­но­ше­ние квад­ра­та пе­ри­о­да об­ра­ще­ния (Т2) к кубу боль­шой по­лу­оси (а3). Этот закон может быть рас­про­стра­нен на во­об­ще все тела во Все­лен­ной и даже на звез­ды, из ко­то­рых со­сто­ит наша Га­лак­ти­ка.

 Заключение

Во вто­рой по­ло­вине ХХ века было за­ме­че­но, что неко­то­рые звез­ды, ко­то­рые на­хо­дят­ся до­ста­точ­но да­ле­ко от цен­тра нашей Га­лак­ти­ки, не под­чи­ня­ют­ся этому за­ко­ну Кепле­ра. Это озна­ча­ет, что мы не всё знаем о том, как дей­ству­ет гра­ви­та­ция в раз­ме­рах нашей Га­лак­ти­ки.

Одним из воз­мож­ных объ­яс­не­ний того, по­че­му да­ле­кие звез­ды дви­жут­ся быст­рее, чем это тре­бу­ет­ся по тре­тье­му за­ко­ну Кепле­ра, ока­за­лось сле­ду­ю­щее: мы видим не всю массу Га­лак­ти­ки.

Зна­чи­тель­ная ее часть может со­сто­ять из ве­ще­ства, ко­то­рое не на­блю­да­е­мо на­ши­ми при­бо­ра­ми, не вза­и­мо­дей­ству­ет элек­тро­маг­нит­но, не из­лу­ча­ет и не по­гло­ща­ет свет, а участ­ву­ет толь­ко в гра­ви­та­ци­он­ном вза­и­мо­дей­ствии.

Такое ве­ще­ство было на­зва­но скры­той мас­сой или тем­ной ма­те­ри­ей. Про­бле­мы тем­ной ма­те­рии – это одна из ос­нов­ных про­блем фи­зи­ки XXI века.

Источник: http://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=2675

Законы Кеплера

Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.

Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии.

(Правильный многогранник — объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах».

Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники.

Между двумя внешними сферами — Сатурна и Юпитера — он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса — тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д.* Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников — казалось бы, само совершенство?

Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S.

Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами».

Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу.

В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.

Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки.

Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера.

Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).

Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см.

Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите.

Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет.

Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!

Первый закон** описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек — фокусов — равна константе.

Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, — это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце.

 Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса.

Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.

Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты.

Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке.

Читайте также:  Фазы луны в феврале 2018 года - все о космосе

Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов).

Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.

Ранняя геометрическая модель Вселенной Кеплера: шесть орбитальных планетных сфер и пять вписанных правильных многогранников между ними

Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство.

Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета.

Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки.

Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.

В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой.

В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами.

Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.

В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа.

Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала — накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности.

То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона, закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок.

А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной.

Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.

Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам — гораздо дальше, чем обычно находятся звезды.

По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним — и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя).

Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.

* Между сферами Марса и Земли — додекаэдр (двенадцатигранник); между сферами Земли и Венеры — икосаэдр (двадцатигранник); между сферами Венеры и Меркурия — октаэдр (восьмигранник). Получившаяся конструкция была представлена Кеплером в разрезе на подробном объемном чертеже (см. рисунок) в его первой монографии «Космографическая тайна» (Mysteria Cosmographica, 1596). — Примечание переводчика.

** Исторически сложилось так, что законы Кеплера (подобно началам термодинамики) пронумерованы не по хронологии их открытия, а в порядке их осмысления в научных кругах. Реально же первый закон был открыт в 1605 году (опубликован в 1609 году), второй — в 1602 году (опубликован в 1609 году), третий — в 1618 году (опубликован в 1619 году). — Примечание переводчика.

Биографии: Иоганн КЕПЛЕР

См. также:

1933 Темная материя

Источник: https://gitak.ru/200-zakonov-mirozdaniya/astronomiya/258-zakony-keplera.html

Законы движения планет


«Класс!ная физика» – на Youtube

В конце XVI в. датский астроном И. Кеплер, изучая движение планет, открыл три закона их движения. На основании этих законов И.

Ньютон вывел формулу для закона всемирного тяготения. В дальнейшем, используя законы механики, И. Ньютон решил задачу двух тел — вывел законы, по которым одно тело движется в поле тяготения другого тела.

Он получил три обобщенных закона Кеплера.

Первый закон Кеплера

Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — кругу, эллипсу, параболе или гиперболе

.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 15.6). Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая далекая — афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором.

Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е. Эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет. Большая полуось эллипса а — среднее расстояние планеты до Солнца.

По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды. У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Движение естественных и искусственных спутников вокруг планет, движение одной звезды вокруг другой в двойной системе также подчиняются этому первому обобщенному закону Кеплера.

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется так, что радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Планета проходит путь от точки А до А' и от В до В' за одно и то же время.

Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего — когда находится на наибольшем удалении (в афелии). Таким образом, второй закон Кеплера определяет скорость движения планеты. Она тем больше, чем планета ближе к Солнцу. Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.

Третий закон Кеплера

Куб большой полуоси орбиты тела, деленный на квадрат периода его обращения и на сумму масс тел, есть величина постоянная.

Если Т — период обращения одного тела вокруг другого тела на среднем расстоянии а, то третий обобщенный закон Кеплера записывается как

а3/[Т2 (М1 + М2)] = G/4π2

где М1 и М2 — массы притягивающихся двух тел, a G — гравитационная постоянная. Для Солнечной системы масса Солнца массы любой планеты, и тогда

Правая часть уравнения — постоянная для всех тел Солнечной системы, что и утверждает третий закон Кеплера, полученный ученым из наблюдений.

Третий обобщенный закон Кеплера позволяет определять массы планет по движению их спутников, а массы двойных звезд — по элементам их орбит.

Движение планет и других небесных тел вокруг Солнца под действием силы тяготения происходит по трем законам Кеплера. Эти законы позволяют рассчитывать положения планет и определять их массы по движению спутников вокруг них.

Следующая страница «Система Земля-Луна»
Назад в раздел «Астроноия -конспекты»

Астрономия. 11 класс – Конспекты по учебнику «Физика-11» (Мякишев, Буховцев, Чаругин) – Класс!ная физика

Видимые движения небесных тел — Законы движения планет — Система Земля—Луна — Физическая природа планет и малых тел солнечной системы — Солнце — Основные характеристики звезд — Внутреннее строение Солнца и звезд главной последовательности. Эволюция звезд — Млечный Путь — наша Галактика — Галактики — Строение и эволюция Вселенной — Кратко о солнечной системе и строении Вселенной

Устали? – Отдыхаем!

Вверх

Источник: http://class-fizika.ru/11_a2.html

Ссылка на основную публикацию